Difference-in-Differences e Propensity Score Matching

due tecniche comuni di analisi causale

Il Difference-in-Differences (DiD) e il Propensity Score Matching (PSM) sono due tecniche comuni di analisi causale.

Puoi combinarle o usarle separatamente per stimare gli effetti di un trattamento.

#DiD e #PSM sono frequentemente utilizzate negli studi sulle imprese per valutare gli effetti causali di interventi o politiche.

Queste tecniche sono applicate per isolare l’impatto di specifiche iniziative.

1 Difference-in-Differences (DiD)

Il DiD confronta l’andamento dei risultati tra un gruppo trattato e un gruppo di controllo prima e dopo un evento/treatment. I passi principali sono:

• Dividi i dati in gruppi trattati e di controllo.
• Calcola le differenze nei risultati prima e dopo il trattamento per entrambi i gruppi.
• La differenza di queste differenze rappresenta l’effetto del trattamento.

2 Esempio in Python

Supponiamo di avere un dataset con le colonne group (trattato/controllo), time (pre/post), e outcome.

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# Dataset simulato
data = pd.DataFrame({
    'group': [0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1],
    'time': [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1],
    'outcome': [5, 7, 6, 12, 5, 15, 6, 8, 5, 14]
})

# Aggiunta interazione trattato-tempo
data['group_time'] = data['group'] * data['time']

# Regressione DiD
model = smf.ols('outcome ~ group + time + group_time', data=data).fit()
print(model.summary())

# Effetto del trattamento
treatment_effect = model.params['group_time']
print(f"Effetto stimato del trattamento: {treatment_effect}")

                            OLS Regression Results                            
==============================================================================
Dep. Variable:                outcome   R-squared:                       0.957
Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.936
Method:                 Least Squares   F-statistic:                     44.66
Date:                Sun, 02 Feb 2025   Prob (F-statistic):           0.000169
Time:                        19:58:20   Log-Likelihood:                -11.494
No. Observations:                  10   AIC:                             30.99
Df Residuals:                       6   BIC:                             32.20
Df Model:                           3                                         
Covariance Type:            nonrobust                                         
==============================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept      5.6667      0.569      9.954      0.000       4.274       7.060
group         -0.6667      0.900     -0.741      0.487      -2.869       1.536
time           1.8333      0.900      2.037      0.088      -0.369       4.036
group_time     6.8333      1.273      5.368      0.002       3.719       9.948
==============================================================================
Omnibus:                        2.318   Durbin-Watson:                   1.829
Prob(Omnibus):                  0.314   Jarque-Bera (JB):                0.540
Skew:                          -0.549   Prob(JB):                        0.763
Kurtosis:                       3.302   Cond. No.                         7.01
==============================================================================

Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
Effetto stimato del trattamento: 6.833333333333329

C:\Users\paolo\AppData\Local\Programs\Python\Python311\Lib\site-packages\scipy\stats\_axis_nan_policy.py:418: UserWarning:

`kurtosistest` p-value may be inaccurate with fewer than 20 observations; only n=10 observations were given.

3 Propensity Score Matching (PSM)

Il PSM abbina le unità trattate con quelle di controllo che hanno una probabilità simile di ricevere il trattamento, basata su variabili osservabili. È utile per ridurre il bias di selezione.

Esempio in Python Supponiamo di avere un dataset con le colonne treatment, outcome, e alcune variabili predittive (X1, X2).

import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.neighbors import NearestNeighbors

# Dataset simulato
data = pd.DataFrame({
    'treatment': [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0],
    'outcome': [10, 5, 12, 6, 11, 4, 13, 7],
    'X1': [3, 2, 4, 2, 3, 1, 5, 2],
    'X2': [7, 6, 8, 5, 7, 4, 9, 5]
})

# Calcolo del propensity score
X = data[['X1', 'X2']]
y = data['treatment']
logit = LogisticRegression()
data['propensity_score'] = logit.fit(X, y).predict_proba(X)[:, 1]

# Matching usando i Nearest Neighbors
treated = data[data['treatment'] == 1]
control = data[data['treatment'] == 0]
nn = NearestNeighbors(n_neighbors=1)
nn.fit(control[['propensity_score']])
distances, indices = nn.kneighbors(treated[['propensity_score']])

# Creazione del dataset abbinato
matched_control = control.iloc[indices.flatten()].reset_index(drop=True)
matched_treated = treated.reset_index(drop=True)

# Unire i dati con suffissi
matched_data = pd.concat([matched_treated, matched_control], axis=1, keys=["treated", "control"])
matched_data.columns = [f"{col[0]}_{col[1]}" for col in matched_data.columns]

# Calcolo della differenza negli outcome
effect = matched_data['treated_outcome'].mean() - matched_data['control_outcome'].mean()
print(f"Effetto stimato del trattamento: {effect}")

Effetto stimato del trattamento: 6.5

4 cosa significa 6.5?

Quando il codice restituisce un valore come Effetto stimato del trattamento: 6.5, significa che l’effetto medio del trattamento (cioè la differenza media tra il gruppo trattato e il gruppo di controllo in termini di un determinato outcome) è pari a 6.5 unità

In termini pratici:

Il gruppo trattato ha ricevuto un trattamento o intervento specifico. Il gruppo di controllo non ha ricevuto il trattamento, ma viene utilizzato come punto di riferimento per capire cosa sarebbe successo al gruppo trattato in assenza del trattamento. 6.5 indica che, in media:

Il trattamento ha aumentato (o ridotto) l’outcome del gruppo trattato di 6.5 unità rispetto al gruppo di controllo. Un esempio pratico Supponiamo che tu stia valutando l’effetto di un programma di formazione aziendale sulla produttività dei dipendenti, e l’outcome misurato sia il numero di unità prodotte.

Il gruppo trattato (dipendenti che hanno partecipato al corso) ha una produttività media di 15 unità. Il gruppo di controllo (dipendenti che non hanno partecipato) ha una produttività media di 8.5 unità. L’effetto stimato del trattamento è:

15−8.5=6.5

L’intervento ha aumentato la produttività di 6.5 unità, in media.

##Limiti e considerazioni - Causalità: L’effetto stimato assume che tutti i bias di selezione e le - differenze osservabili/non osservabili tra i due gruppi siano correttamente - gestiti (ad esempio, con il Propensity Score Matching o un disegno - sperimentale ben fatto). - Significatività statistica: È importante verificare se l’effetto stimato è - statisticamente significativo (es. con un test statistico). - Unità di misura: Assicurati che il risultato sia chiaro in termini dell’outcome misurato (es. unità prodotte, reddito, vendite, ecc.).

5 Librerie utili:

• statsmodels: Per la regressione del DiD.
• sklearn: Per calcolare il propensity score e abbinare i dati.
• causalinference: Per analisi causali.
• econml: Per metodi avanzati di stima degli effetti causali.